LOGICA

LÓGICA

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa "dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo", que a su vez viene de λόγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio".

La lógica se constituye prácticamente como disciplina autónoma, a partir de Aristóteles, quien la instauró como ciencia, elevándola al grado de saber supremo.

Tal grado fue alcanzado debido a la importancia que se la atribuyó como método, como herramienta indispensable en el manejo de los procesos mentales. De ahí que se diga que el objeto sobre el cual trabaja la lógica, es el pensamiento, sus formas, es decir la manera como la mente consigna y ordena los datos provenientes de la naturaleza. Posteriormente, dichos datos serán expresados de acuerdo con las reglas o formas asignadas por la disciplina en mención.

El pensamiento:

Es el proceso mediante el cual, el hombre capta la realidad, partiendo de sus sentidos, hasta obtener una percepción clara de los fenómenos al conformar una imagen de estos.

La imagen se crea a partir del ordenamiento de las sensaciones al captar la realidad. Este proceso se puede denominar el despertar del pensamiento. De aquí en adelante se relacionarán las imagines, conformando las primeras ideas de las cosas o fenómenos.

Factores del proceso de pensar:

a. Un sujeto pensante que produce el pensamiento.

b. Un objeto al que se refiere el pensamiento y que determina su contenido.

c. La forma como es expresado el pensamiento.

Lógica formal y lógica material:

En el pensamiento es posible distinguir los contenidos materiales y los contenidos formales. Los primeros son constituidos por los conceptos: montaña, casa, carro, árbol. Los segundos, hacen referencia a la forma como aquellos conceptos se relacionan entre sí: A es parte de B; A es idéntico a B; C = (A U B)

Cuando el objeto de estudio son los contenidos materiales del pensamiento, tenemos la lógica material. Cuando se estudian los contenidos formales, tenemos la lógica formal.

Principios lógicos:

Son los fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la coherencia y sistematicidad de los pensamientos en las formas y contenidos.

En otras palabras, los principios lógicos son las leyes del pensamiento que nos aseguran su validez.

• PRINCIPIO DE IDENTIDAD.

Este principio expresa igualdad de la idea consigo misma.

Este principio se representa mediante la fórmula “X es X”. Ejemplo: Juan es Juan.

A = A

IMPORTANCIA Y VALIDEZ DEL PRINCIPIO DE IDENTIDAD.

El principio de identidad cobra importancia para nuestro entendimiento en la medida que el predicado exprese notas complementarias al sujeto. De esta manera el principio de identidad amplía nuestro conocimiento. Si dentro del principio de identidad no es sustituido por nuevas notas, el principio no posee valor para nuestro conocimiento. Ejemplo:

Bolívar es Bolívar (no posee valor)

Bolívar es el libertador de cinco naciones.

Bolívar es el libertador de la Nueva Granada.

En la segunda y tercera oración, el sujeto va acompañado de dos adjetivos que al utilizarnos individualmente nos remiten al sujeto. Así si decimos: El Libertador, sabemos que se está hablando de Bolívar.

• PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN.

Este principio afirma la imposibilidad de concebir dos juicios contrarios y verdaderos con relación a un mismo objeto.

Si se tienen los juicios S es P y S no es P, es imposible que ambos juicios sean verdaderos a la vez, en el mismo tiempo y circunstancias. Ejemplo: los metales son duros, los metales no son duros.

• PRINCIPIO DEL TERCERO EXCLUIDO.

Dados dos juicios contradictorios entre sí: (A es B); (A no es B), hemos de reconocer que alguno será verdadero y el otro necesariamente falso, no existiendo un tercer modo de ser. Igualmente se excluye la posibilidad de un tercer juicio con los mismos elementos A y B.

• PRINCIPIO DE RAZÓN SUFICIENTE.

Este principio plantea la necesidad de justificar los conocimientos de una forma razonada, es decir, ordenada y lógica. Sólo es verdadero aquello que se puede probar suficientemente, basándose en otros conocimientos o razones ya demostradas.

Por ejemplo cuando se dice que “el todo es mayor que las partes”, esta afirmación es un conocimiento verdadero, puesto que se ha comprobado que una parte es menor que el todo, ya sea por la experiencia o por pura intuición. 

EL CONCEPTO

Se entiende por concepto, la primera operación de nuestro entendimiento por medio de la cual captamos la realidad. 

El hombre al estar en contacto con la realidad recibe las imagines de los fenómenos que la conforman, ya sea un árbol, una montaña, un río, un animal. De este contacto con los fenómenos, el hombre tiene las ideas o los conceptos de las cosas.

El concepto en sí es a la simple captación de las cosas sin afirmar o negar nada con respecto a ellas. 

VALIDEZ UNIVERSAL DEL CONCEPTO.

El concepto como representación, determina las características esenciales del fenómeno al cual se refiere. Así por ejemplo, la idea o el concepto árbol no se refiere a determinado árbol en especial. El concepto árbol encierra las características esenciales de cualquier tipo de árbol, no importando la especie. Por medio de la idea nos desprendemos de las características secundarias. En el caso del árbol, se ignora su tamaño, su color, su variedad.

En síntesis, el concepto o idea encierra únicamente lo esencial del fenómeno, teniendo como es natural, validez universal, al designar de una forma unitaria a una pluralidad de representaciones.

EL CONCEPTO Y LAS CARACTERÍSTICAS ESENCIALES Y ACCIDENTALES DEL OBJETO.

En el objeto “perro” podemos encontrar características tales como: mamífero, blanco, canino, grande, juguetón, etc. Algunas de estas características pueden variar, sin que el objeto deje de ser un perro. Pero hay otras que si se llegan a cambiar ya no harían del perro un animal como el que conocemos sino otro animal, así si decimos que es ovíparo e invertebrado estaríamos hablando de un gusano u otra cosa.

El primer caso de características son llamadas accidentales y son ignoradas por el concepto. El segundo tipo son las características esenciales y constituyen el concepto mismo. 

Características esenciales: aquellas que hacen del “objeto” lo que es, ejemplo un perro es un canino si le cambiamos a felino ya no sería un perro sino un gato.

Características accidentales: aquellas que hacen del objeto algo diferente, así podemos decir de un perro que es blanco o negro, o pardo; grande o chico, estas características nos remiten a un animal que posiblemente conocemos y no por ellas pensaremos en un gato.

EXTENSIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS.

La extensión de u concepto, determina el número de objetos o individuos a los cuales designa.

La comprensión en cambio califica al concepto de acuerdo con el número de características que éste posea, o cantidad de conceptos que lo definan.

Dentro de la comprensión y extensión de los conceptos hay una regla que dice: “a mayor extensión, menor comprensión y viceversa”. Ejemplo: El concepto HOMBRE es de gran extensión pues reúne en sí a muchos hombres negros, blancos, europeos, asiáticos, etc. En cambio, PABLO designa a una sola persona.

LAS CATEGORÍAS.

Las categorías son los conceptos más generales y suficientes en los que podemos definir otro concepto y según Aristóteles son 10:

Sustancia,
Cualidad,
Cantidad,
Relación,
Lugar,
Posición,
Tiempo,
Estado,
Acción,
Pasión.

Ejemplo: Pedro es un ser humano (sustancia), inteligente (cualidad), de 1,80 metros de estatura (cantidad), el hermano mayor de Juan (relación), que vive en Manizales (lugar), al norte de la ciudad ( posición), tiene 25 años (tiempo), es soltero y muy feliz ( estado), trabaja mucho (acción), pero sufre de amor ( pasión).

EL JUICIO

Si el concepto es la primera operación del entendimiento, el juicio es la segunda, por medio de la cual el entendimiento compara dos ideas o conceptos. 

A partir de la comparación que se establece, por medio del juicio, el entendimiento afirma o niega los elementos que determinan la relación.

En todo juicio hay tres elementos fundamentales:

1. El sujeto, sobre el cual se va a afirmar o negar algo.
2. El predicado que se afirma o niega, con respecto al sujeto.
3. La copula, que es el elemento de enlace entre el sujeto y el predicado.

Ejemplo: 

Pedro es alto.

Sujeto cópula predicado.

CLASIFICACIÓN DE LOS JUICIOS.

A partir de Aristóteles, los juicios se han clasificado en cuatro grandes grupos, según su cantidad, su relación, su cualidad y su modalidad.

a. De acuerdo con su cualidad, los juicios se clasifican en:

1. Afirmativos: son aquellos en que el predicado expresa una señal del sujeto, cualquiera que esta sea, ejemplo: “el oro es un metal”
2. Negativos: son aquellos en que el predicado no conviene al sujeto. Dichos juicios encierran una limitación del sujeto. Ejemplo: “este cuadro no es feo”.

b. De acuerdo con su cantidad, los juicios pueden ser:

1. Universales: cuando el predicado se extiende a toda una clase de objetos sin excepción alguna. Ejemplo: “todos los hombres son mortales”.
2. Particulares: cuando el predicado se extiende a una clase determinada de objetos. Ejemplos: “algunos hombres son profesionales”
3. Individuales: cuando el predicado se extiende a un solo individuo. Ejemplo: “Bolívar fue un héroe”

c. De acuerdo con su relación, los juicios se clasifican en:

1. Categóricos: son aquellos en que entre el sujeto y predicado se encierra una afirmación absoluta que no depende de ninguna condición. Ejemplo: “el calor dilata los cuerpos”
2. Disyuntivos: son aquellos juicios en que el sujeto puede ser determinado por varios predicados, pero al final el sujeto termina siendo predicado solo por uno de ellos. Ejemplo: “los minerales, pueden ser sólidos, líquidos, o gaseosos”.
3. Hipotéticos: Son aquellos juicios en que la elación entre el sujeto y el predicado está subordinada a otra relación que es una condición. Ejemplo: “Si Juan es brusco jugando, y dejo de jugar con él, me evito problemas”

d. De acuerdo con la modalidad los juicios se clasifican en:

1. Problemáticos: son aquellos en que la relación entre el sujeto y el predicado se expresa como posible; en dichos juicios aparece por lo general los términos “puede ser”. Ejemplo: “el cáncer puede tener como causa un bacilo”
2. Asertóricos: son juicios en donde la relación sujeto predicado implica una realidad. Ejemplo: “El hombre es un ser racional”
3. Apodícticos: son juicios en donde la relación sujeto predicado expresa una necesidad. Ejemplo: “el triangulo tiene tres lados”

LA PROPOSICIÓN.

Es la expresión verbal del juicio. También es denominada oración. En ella encontramos los tres elementos esenciales del juicio. Un sujeto, un predicado y el elemento que sirve de enlace: El verbo.

Las proposiciones se pueden dividir en simple s y compuestas.

Simples son aquellas que en su estructura no encierran más que un sujeto y un predicado, y por tanto, una sola afirmación. Ejemplo: “Pablo es buen estudiante”

Compuestas son las proposiciones conformadas por varios sujetos y varios predicados, que pueden estar realizando varias actividades. Ejemplo: “Carlos y Pablo son buenos amigos y están jugando billar”

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES.

1. Enunciativas: en ellas expresamos un sentido que encierra tan sólo una simple manifestación ya sea esta afirmativa o negativa. Ejemplo: “Pedro es buena gente”

2. Interrogativas: en ellas se expresa el deseo de saber, de conocer de satisfacer una curiosidad, encierran por tanto una pregunta. Ejemplo: “Quién es Marx”

3. Optativas: expresan un deseo y pueden expresarse de diferentes modos, de ahí su carácter de optativas. Ejemplo: “quieren darme una gaseosa”

4. Imperativas: expresamos una orden o mandato. Ejemplo: “¡acuéstate temprano!”

El conocimiento en general, se establece a partir de un encadenamiento de hechos. Se parte de una idea, de un concepto, se verifica en la experiencia, se razona, se piensa y se relaciona con otros hechos y de allí se infiere o se extrae algún resultado. 

De esta manera, el conocimiento se consolida como un proceso, en el cual el sujeto relaciona una serie de hechos a partir de los cuales extrae una conclusión.

El proceso mediante el cual, el sujeto relaciona dos juicios, para inferir uno tercero, se denomina razonamiento.

Se parte de algo conocido, expresado en un primer juicio; se relaciona con otro estableciendo cierta consecuencia y se llega a la solución buscada, que era hasta el momento desconocida.

El mecanismo de razonamiento consiste en una verdadera sustitución de conceptos, en donde se usa un concepto en lugar de otro, porque se ha establecido entre ellos una relación de identidad.

Se representa:

A = B; B = C Entonces A = C.

Ejemplo:

“Todos los metales son buenos conductores de la electricidad, El cobre es un metal, El cobre es un buen conductor”.

BASES PARA UN BUEN RAZONAMIENTO.

A la existencia de dos juicios.

b. Que en dichos juicios uno sea consecuencia del otro.

c. La existencia de un origen lógico, deductivo, donde primero estén las premisas (juicios) y a partir de ellas se elabore la conclusión.

d. La conclusión obtenida no puede ser igual a las premisas.

e. Que a partir de todo el proceso se amplíe el conocimiento, por medio del análisis de las premisas.

EL SILOGISMO Y SUS ELEMENTOS.

La forma más perfecta del razonamiento es le silogismo. En este se encuentran relacionados tres juicios, siendo el último de ellos un aporte nuevo al conocimiento, porque es inferido a partir de la relación de los dos primeros.

a. Un término mayor, que identifica al concepto de mayor extensión y cuyo símbolo es P (Predicado de la conclusión).

b. Un término menor, que como su nombre lo indica, corresponde al concepto de menor extensión, simbolizado por S (sujeto de la conclusión)

c. Un término medio, el cual tiene una extensión intermedia representado por M.

¿Qué es una Proposición?

Es una expresión con sentido completo de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.

a. Bivalente: cuando una proposición tiene dos valores uno falso y uno verdadero.
b. Plurivalente: cuando tiene más de dos valores, verdadero, falso, probable.
c. No analizada: donde la totalidad de la proposición se considera una variable.
d. Analizada: Cuando nos metemos en la proposición para encontrar constantes y variables.

Clases de Proposiciones:

A. Proposición Atómica: aquella que carece totalmente de conectivas. Es una variable.
B. Proposición molecular: aquella que por lo menos tiene una conectiva.

Variable: Cualquier simple afirmación. Ej. El día es bonito.

Qué es Metalógica? 

Es un lenguaje que hablamos para hablar otro lenguaje, en este caso del cálculo.

a. Sintaxis lógica: nos dice cuáles son las reglas que hay que seguir para la combinación de los signos tengan sentido.

 b. Semántica lógica: nos dice qué es lo que significan los signos del cálculo lógico.

c. Pragmática lógica: relación entre los signos y aquel que lo usa.

Hay ciertas expresiones que quedan por fuera del campo de la lógica. Ej. Ay!, Bah!, Oh!
Las exclamaciones, las preguntas y las expresiones sin sentido.

CONSTANTES O CONECTIVAS

NO
Y
O
O, O

Sí, entonces.

Sí y sólo si

Ni, ni

Incompatible.

Una forma lógica: es una estructura de la cual son reconocibles las constantes y las variables.
Para que haya proposición debe haber un VERBO, el simple sustantivo no es una proposición.

Ejemplo:

“Si la pulga brinca y canta, entonces no me duele una muela”.

Forma lógica:

Si ( ) y ( ), entonces no ( ).

Cuando hay varias conectivas debe haber una que domine. Conectiva Principal. Y es la que la da el nombre a la proposición. En la anterior frase Si, entonces.

   SÍMBOLOS LÓGICOS.

VARIABLE	SIGNO	SE LLAMA	SE LEE
No	¬	Negación	No
Y		Conjunción	Y
O	v	Disyunción inclusiva	O
O, O	w	Disyunción exclusiva	O
Sí, entonces		Implicación	Implica
Sí y sólo si.		Coimplicación.	Coimplica
Ni, ni		Flecha de Schefer	Ni, ni
Incompatible.	/	Tabla de Schefer	Incompatible

2. No esenciales.

Teóricamente se puede prescindir de ellas. Cumplen la función de signos de puntuación. Tienen la misma función pero su representación grafica difiere:

Son: ( ); [ ]; {}

REGLAS DE LA SINTAXIS LÓGICA

1. Una proposición atómica (A) está bien formulada (BF): P, Q; R; S; T etc., Si está simbolizada por una variable que por convención pertenece al alfabeto latino y carece de conectivas.

2. Si P, Q, R, S, T etc., están BF también lo serán: ¬ P (no P), ¬ Q, ¬ R, ¬ S, ¬ T, etc.

3. Si P, Q, R, S, T etc., son proposiciones BF también lo serán: P y Q; P o Q; P w Q; P entonces Q, etc.

4. Los símbolos no esenciales ( ), [ ]; { } deben delimitar exactamente el alcance de las conectivas.

5. Una fórmula lógica estará BF, si y solo si es posible deducirla en número infinito de aplicaciones de las reglas 1, 2, 3 y 4.

[(P® ¬ Q) Ù¬ R)Û ¬ (S Ú T) ß [((P Ù ¬ T I S) Ú ¬ T]

1. P, Q, R, S, T BF; según Regla 1

2. ¬ R, ¬ S, ¬ T BF; según Regla 1

3. (P ® ¬ Q), (S Ù T), (P Ù ¬ T) El orden de las premisas no alteran el valor de la inferencia BF según Regla 3 y 4

4.¬ (S Ù T) BF 2, 3, 4.

RESOLUCIÓN DE RACIONAMIENTOS POR TABLAS DE VERDAD 

Razonamiento o inferencia es un procedimiento lógico por medio del cual de una o varias proposiciones que llamamos premisas deducimos otra que se llama conclusión.

POSTULADOS.

1. Toda proposición atómica tiene dos valores de verdad: Verdadero (V) o falso (F). Verdadero se simboliza con el número. Falso se simboliza con el número 2.
2.a) El valor de verdad de una proposición molecular depende de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la conforman, b) de acuerdo a la naturaleza de los conectivos.

Comparación de dos proposiciones:

Conjunción P Q Ù 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0	Disyunción Inclusiva P Q Ú 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Disyunción Exclusiva P Q W 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0	Implicación P Q ® 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1
Coimplicación P Q « 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1	Ni, ni P Q ¯ 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
Incompatible P Q I 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

VALIDES DE UN PROCEDIMIENTO

[(P ® Q) Ú R) ® ¬ ( ¬ (P ® Q)] Ù ¬ R)]

Aplicamos la fórmula de 2n entonces como hay 3 valores 2 3 [(P ® Q) Ú R) ® ¬ (¬ (P ® Q)] Ù ¬ R)]

1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	1	0	1
0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	0	0	1

Cuando todos los valores del razonamiento son verdaderos como en el caso del ejemplo, decimos que es una TAUTOLOGÍA, luego el razonamiento es verdadero siempre.

Cuando todos los valores de la conectiva principal son falsos entonces hablamos de una CONTRADICCIÓN, luego el razonamiento no es valido nunca.

Cuando hay valores V y F decimos que es una INDETERMINACIÓN por lo que no son válidas nunca.

INFERENCIAS LÓGICAS

Esquema de inferencia es una representación gráfica en la cual se nos da una información.

P  Q

P Premisa

Q Conclusión

Estas inferencias lógicas obedecen a unas reglas específicas:

REGLA MODUS PONENDUS PONENS.

El modo que afirmando afirma: P ® Q

Como premisas tenemos un condicional con su antecedente y consecuente, de modo que afirmando el antecedente afirma el consecuente, es valido porque siempre es una tautología, así: ((P ® Q) Ù P) ® Q

Nos dice unas cosas pero calla otras. O sea, nos dice que la conectiva es siempre la conjunción, pero calla otras conectivas.

( ( P	®	Q)	Ù	P )	®	Q
1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1	0
0	1	0	0	0	1	0

ë_	1	_û
	ë_		2	_û
			ë_		3	_û

 Esquema de Ponendus Ponens

P ® Q

P

Q

Las reglas de inferencia se pueden utilizar cuantas veces sea necesario a lo largo de una demostración. Lo mismo para las premisas.

 

REGLA DOBLE NEGACIÓN.

Si tengo una proposición cualquiera como premisa puedo deducir su doble negación y viceversa:

 

P ______ ¬¬P

¬¬ P ______ P

Esquema Doble Negación

 

REGLA TOLLENDO TOLENS

El que negando niega:

P ® Q ¬ Q ________ ¬ P

Esquema Tollendo Tolens

ADJUNCIÓN

Si tengo dos proposiciones cualesquiera como premisas la conclusión será, las dos proposiciones unidas por la conjunción.

P Q _______ PÙQ

Esquema Adjunción

SIMPLIFICACIÓN

(P Ù Q) ® P (tautología)

P Ù Q _______ P	Esquema Simplificación
Q Ù P _______ Q	Esquema Simplificación

TOLLENDO PONENS

El modo que negando afirma.

P Ú Q ¬ P ______ Q

Esquema Tollendo Ponens

Teniendo una premisa, se niega un miembro de la premisa y se concluye el otro miembro de la premisa.

 

ADICIÓN

P _______ P Ú Q

Esquema Adición

Si tengo una proposición cualquiera como premisa puedo añadirle otra por medio de la disyunción.

  TRANSITIVA

P ® Q Q ® R ______ P ® R

Esquema de la ley de Transitividad

Dos proposiciones que tengan una condicional, unidas de tal manera que la segunda condicional tenga como antecedente el consecuente de la primera, la conclusión será el antecedente del primero con el consecuente del segundo.

LEY DE DILEMA

(P Ú Q)
P ® A	Esquema de la ley del dilema
Q ® B
A Ú B

Los antecedentes de los condicionales son los términos de la disyunción. Los consecuentes de los condicionales son proposiciones distintas. LA conclusión está formada por los consecuentes de las condicionales.

LEY DE CONMUTACIÓN

(P Ù Q) (Q Ù P) (P Ú Q) (Q Ú P)

Esquema de la ley de conmutación.

  LEYES DE MORGAN

Son inferencias y equivalencias, es decir, tautologías con condicional y bicondicional.

Esquema de las leyes de Morgan.

¬ (P Ù Q) ________ ¬ P Ú ¬Q	Primera (Una conjunción negada equivale a una disyunción de negaciones. Y viceversa)
¬ (P Ú Q) ________ ¬ P Ù ¬Q	Segunda
P Ù Q ________ ¬ (¬PÚ¬Q)	Tercera (Una conjunción equivale a la negación de una disyunción de negaciones)
P Ú Q ________ ¬ (¬ PÙ¬Q)	Cuarta

BICONDICIONAL

P « Q ______ P ® Q
Q « P ______ Q ® P	Esquema de la condicional
P « Q ______ (P ® Q) Ù (Q ® P)

PONIENDO TOLLEN

P w Q P ______ ¬ Q

Esquema del Ponendo Tollen